基于改进模糊滑膜控制的车辆主动悬架
抖振抑制与鲁棒性研究

0　怎么用这份讲义 + 明天保命速查卡

0.1　今晚的阅读路线（按优先级）

每章结构固定：学习目标 → 前置知识回顾 → 直觉 → 推导 → 数值算例 → 仿真/代码核对 → 常见误区 → 幻灯片对应 → 老师可能问 → 自测题。绿色折叠块是“算例详解”，紫色折叠块是“自测答案”，点开即看；右上角按钮可一键全部展开（打印时也会自动展开）。

0.2　保命速查卡：必须能张口就说的 10 句话

1. 课题一句话：主动悬架用滑模控制，鲁棒（对质量变化、路面扰动不敏感），但不连续切换 $\mathrm{sgn}(s)$ 会让控制力高频抖振；我们用模糊规则同时在线调切换增益 $K$ 和边界层厚度 $\varphi$，在受约束的作动器下检验能否兼顾抑振、舒适和鲁棒。
2. 被控对象：1/4 车二自由度模型——车身（簧载质量 $m_s$）和车轮（非簧载质量 $m_u$），中间弹簧 $k_s$、阻尼 $c_s$、作动器 $F_a$，下面轮胎刚度 $k_t$；路面 $z_r$ 按 ISO 8608 生成。它只代表车身垂向振动，不等于人体/座椅舒适性。
3. 滑模面 $s=ce+\dot{e}$：$s=0$ 意味着 $\dot{e}=-ce$，误差按 $e^{-ct}$ 指数衰减。控制器的任务就是“先把 $s$ 推到 0（到达阶段），再保持在 0 上（滑动阶段）”。
4. 控制律 $u=u_{\mathrm{eq}}-K\mathrm{sat}(s/\varphi )$：$u_{\mathrm{eq}}$ 是“按标称模型算出的、让 $\dot{s}=0$ 的那部分力”；$-K\mathrm{sat}(s/\varphi )$ 负责对付模型误差和扰动，把系统推回滑模面。
5. 为什么稳：取 $V=\frac{1}{2}{s}^2$，只要 $K$ 大于扰动上界再留一点裕量（$K\ge D+\eta m_{s,\max }$，注意 $K,D$ 是力、$\eta$ 是加速度），就有 $s\dot{s}\le -\eta |s|$，$s$ 在有限时间 $t_r\le (|s(0)|-\varphi )/\eta$ 内到达边界层，层内误差有界 $|e|\le \varphi /c$。但 deck 上的完整稳定性证明是第④阶段的交付物，目前还没完成——不要说“已证明”。而且这个论证假设理想作动器；有滞后/时延时只能保证最终有界。
6. 抖振从哪来：理想 sgn 要求无限快切换；真实系统有作动器滞后、纯时延、采样和噪声，切换总是“晚一步”，于是在滑模面两侧来回冲过头，形成几十赫兹的极限环。
7. 边界层的代价：把 sgn 换成 sat，层内变成连续的高增益线性反馈，抖振减小，但换来稳态误差（误差界 $\varphi /c$）。$\varphi$ 大 → 平滑但不准；$\varphi$ 小 → 准但会抖。这就是“精度—平滑折中”，固定 $\varphi$ 只能选一个折中点。
8. 我们的改进（FSMC-dual）：用模糊规则根据“离滑模面多远（$|s|$）”和“正在靠近还是远离（$s\dot{s}$ 的符号）”同时调 $K$ 和 $\varphi$：远离时加大 $K$、收窄 $\varphi$；靠近时减小 $K$、放宽 $\varphi$。$K$、$\varphi$ 都有硬边界，$K_{\min }$ 按到达条件定，模糊只能在安全区间里调。
9. 怎么证明“真的更好”：七组对照（Passive、Skyhook、SMC-sign、SMC-fixed-BL、FSMC-K、FSMC-φ、FSMC-dual），同一路面种子、同一步长、同一作动器约束；六类指标；抖振用 $J_{\mathrm{HF}}$（高频能量占比）和 TV（总变差）衡量，指令力 $u_c$ 和实际力 $F_a$ 分别算；抖振降了但舒适、行程、接地变差，仍算失败。
10. 定位与诚实：模糊滑模、可变边界层已有先例（如 Lee et al., 2001），我们不主张首创；价值在于统一作动器约束下公平、可复现的消融对比，回答“双参数到底值不值”。如果双参数没有额外价值，就如实退回单参数。目前没有仿真结果，参数表待按文献补齐。

0.3　已完成 vs 计划中：诚实口径

0.4　讲前必须知道的 deck 不一致之处（口播稿“讲前核对”汇总）

1　控制用的状态空间与常微分方程速成

1.1　一阶系统：时间常数

$\tau \dot{x}+x=u$。阶跃输入 $u=1$ 时 $x(t)=1-e^{-t/\tau }$：$t=\tau$ 时到 63%，$3\tau$ 时到 95%。作动器模型（第 3 章）就是这种系统，${\tau }_a$ 越小响应越快。另一个常见形式 $\dot{e}=-ce$（滑模面上的误差动态）：$e(t)=e(0)e^{-ct}$，时间常数 $1/c$。

1.2　二阶系统：质量—弹簧—阻尼

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F$。定义固有频率 ${\omega }_n=\sqrt{k/m}$、阻尼比 $\zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}}$，方程变为 $\ddot{x}+2\zeta {\omega }_n\dot{x}+{\omega }_n^{2}x=F/m$。特征根 $\lambda =-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$（欠阻尼时）。

1.3　状态空间、平衡点、稳定性

取状态变量 $x_1=x$（位移）、$x_2=\dot{x}$（速度）——状态就是“知道它们就能预测未来”的最小一组量：

平衡点：$\dot{x}=0$ 的点（这里是原点）。线性系统稳定 ⇔ $A$ 的所有特征值实部 < 0；实部决定衰减快慢，虚部决定振荡频率。1/4 车有 4 个状态 $[z_s,{\dot{z}}_s,z_u,{\dot{z}}_u]$，4×4 的 $A$ 矩阵（第 2 章）。

# 第1章：二阶系统 m x'' + c x' + k x = 0 的特征值、阻尼比、固有频率
import numpy as np
m, c, k = 250.0, 1000.0, 16000.0          # 教学参数：1/4 车身质量 + 悬架弹簧/阻尼（车轮固定不动）
A = np.array([[0, 1], [-k/m, -c/m]])       # 状态 x=[位移, 速度]
lam = np.linalg.eigvals(A)
wn = np.sqrt(k/m); zeta = c/(2*np.sqrt(k*m))
print("A =\n", A)
print("eigenvalues =", np.round(lam, 3))
print(f"wn = {wn:.3f} rad/s = {wn/2/np.pi:.3f} Hz, zeta = {zeta:.3f}")
print(f"damped freq wd = {wn*np.sqrt(1-zeta**2):.3f} rad/s ; Re(lambda) = -zeta*wn = {-zeta*wn:.3f}")

A =
 [[  0.   1.]
 [-64.  -4.]]
eigenvalues = [-2.+7.746j -2.-7.746j]
wn = 8.000 rad/s = 1.273 Hz, zeta = 0.250
damped freq wd = 7.746 rad/s ; Re(lambda) = -zeta*wn = -2.000

1.4　相平面

把 $(x,\dot{x})$ 画成平面，每一时刻状态是一个点，随时间画出轨迹。稳定欠阻尼系统的轨迹是向原点收缩的螺线。滑模控制在相平面上最直观：滑模面 $s=ce+\dot{e}=0$ 就是一条过原点、斜率 $-c$ 的直线（第 5 章图）。

1.5　Lyapunov 思想：用“能量”判断稳定

对 $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$ 取机械能 $V=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+\frac{1}{2}k{x}^2\ge 0$，求导并代入方程：

能量只减不增 → 系统稳定。Lyapunov 方法就是推广：找一个正定函数 $V$，证明沿系统轨迹 $\dot{V}<0$。不需要解方程！第 5 章用的 $V=\frac{1}{2}{s}^2$ 就是“到滑模面距离的平方”。

1.6　传递函数与频率响应（只需这么多）

拉普拉斯变换把 $\frac{d}{dt}$ 变成乘以 $s$：$G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{m{s}^2+cs+k}$。令 $s=j\omega$ 得频率响应：$|G(j\omega )|$ 是正弦输入的放大倍数，$\angle G$ 是相位滞后。一阶滞后 $\frac{1}{\tau s+1}$：$|G|=1/\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}$，相位 $-\arctan (\omega \tau )$；纯时延 $e^{-s{T}_d}$：幅值 1，相位 $-\omega T_d$。

1.7　自测题

1. ${\tau }_a=10$ ms 的一阶滞后，阶跃响应到 95% 需要多久？
2. $m=250$，$k=16000$，要 $\zeta =0.7$，$c$ 取多少？
3. 特征值 $-1\pm j10$ 的振荡频率（Hz）和衰减时间常数？
4. 为什么 Lyapunov 方法“不需要解方程”？

2　车辆动力学：1/4 车模型、路面激励与评价指标

2.1　直觉：两块质量、三根“弹簧”

2.2　用牛顿定律推导

约定：$z_s,z_u,z_r$ 都向上为正，从静平衡位置量起（于是重力与弹簧静变形抵消，方程里不出现 $g$）；$F_a$ 为正时向上推车身、向下推车轮。

悬架力（作用在车身上）：弹簧被拉伸 $z_u-z_s$ 时产生 $k_s(z_u-z_s)$，阻尼同理：

车身受悬架力 $F_s$ 和作动力 $F_a$：$m_s{\ddot{z}}_s=F_s+F_a$。

车轮受反作用力 $-F_s-F_a$（牛顿第三定律），以及轮胎力 $k_t(z_r-z_u)$：$m_u{\ddot{z}}_u=k_t(z_r-z_u)-F_s-F_a$。

这正是第 5 页的三行方程（第 3 页的统一方程就是把 $F_s$ 展开后的车身方程）。状态 $x=[z_s,{\dot{z}}_s,z_u,{\dot{z}}_u{]}^{\mathsf{T}}$：

注意 $F_a$ 的输入向量和 $z_r$ 的输入向量方向不同——路面扰动相对于 $F_a$ 是非匹配的（第 4 章）。

2.3　两个固有频率

粗略估计：车身模态时车轮几乎不动，车身挂在 $k_s$ 与 $k_t$ 串联的弹簧上，$f_1\approx \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k_s{k}_t/(k_s+k_t)}{m_s}}$；车轮模态时车身几乎不动，车轮夹在 $k_s$ 与 $k_t$ 之间（并联），$f_2\approx \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k_s+k_t}{m_u}}$。

# 第2章：1/4 车两自由度模型的固有频率（无阻尼）与近似公式对比
import numpy as np
ms, mu, ks, cs, kt = 250.0, 45.0, 16000.0, 1000.0, 160000.0   # 教学参数（常见教材取值）
M = np.diag([ms, mu])
Kmat = np.array([[ks, -ks], [-ks, ks + kt]])
w2 = np.sort(np.linalg.eigvals(np.linalg.solve(M, Kmat)).real)
f = np.sqrt(w2) / (2*np.pi)
print("exact undamped natural frequencies [Hz]:", np.round(f, 3))
k_eq = ks*kt/(ks+kt)
print(f"approx body  f1 ~ sqrt(k_eq/ms)/2pi = {np.sqrt(k_eq/ms)/2/np.pi:.3f} Hz (k_eq={k_eq:.0f} N/m)")
print(f"approx wheel f2 ~ sqrt((ks+kt)/mu)/2pi = {np.sqrt((ks+kt)/mu)/2/np.pi:.3f} Hz")
print(f"static tire load (ms+mu)g = {(ms+mu)*9.81:.0f} N")
# damped eigenvalues of the full 4-state model
A = np.array([[0,1,0,0],[-ks/ms,-cs/ms,ks/ms,cs/ms],[0,0,0,1],[ks/mu,cs/mu,-(ks+kt)/mu,-cs/mu]])
lam = np.linalg.eigvals(A)
print("damped eigenvalues:", np.round(np.sort_complex(lam), 2))

exact undamped natural frequencies [Hz]: [1.213 9.961]
approx body  f1 ~ sqrt(k_eq/ms)/2pi = 1.214 Hz (k_eq=14545 N/m)
approx wheel f2 ~ sqrt((ks+kt)/mu)/2pi = 9.953 Hz
static tire load (ms+mu)g = 2894 N
damped eigenvalues: [-11.44-60.9j  -11.44+60.9j   -1.68 -7.51j  -1.68 +7.51j]

参数来源说明：这组数在大量教学论文中使用，例如 IJERT V4IS010209 的 1/4 车 LQR 论文。它们不是小组的参数；第 8 页①的通过条件“固有频率与文献参数一致”就是要做这样的计算：车身约 1–1.5 Hz、车轮约 10 Hz 是乘用车的典型量级。

2.4　被动、半主动、主动，以及三角折中

三角折中（Hrovat 1997 综述的核心主题之一）：舒适（车身加速度小）希望悬架“软”；操稳/接地（轮胎动载小）希望车轮紧贴路面；行程受限位块约束不能太大。被动悬架改一个必然牺牲另一个；主动控制可以在一定程度上同时改善，但仍有物理极限（例如在车轮频率附近，车身侧的力很难同时压住车轮跳动）。

天棚阻尼（Skyhook）：理想化地在车身和“天空”（惯性参考）之间接一个阻尼器 $F=-c_{\mathrm{sky}}{\dot{z}}_s$，能有效压住车身共振。它物理上不可实现，但主动悬架可以用作动器“模拟”它，是 deck 中的工程基线。

2.5　ISO 8608 路面谱

路面不平度用空间功率谱密度（PSD）描述（第 5 页③）：

$n$ 是空间频率（每米多少个波），$G_d(n_0)$ 叫不平度系数，决定等级。deck 写作 $G_q$，是国内文献（GB/T 7031，对应 ISO 8608）的记号，含义相同。分级（$10^{-6}$ m³，单边（one-sided）空间 PSD 在 $n_0=0.1$ cycles/m 处的几何平均值与范围，每级 ×4）：

来源：ISO 8608 分类表（可见 ISO 8608:1995 文本；Springer《Railway Engineering Science》doi:10.1007/s40534-017-0122-1 指出铺装路面一般属于 A–D 级）。注意：网上有些资料给出“错一级”的数值表，团队引用时请以 ISO 8608:2016 原文或所引论文为准，这正是 deck 写“$G_q(n_0)$ 取值待填（须标文献来源）”的原因。

如何生成路面（两种常用方法）

① 谐波叠加法：把 $[n_1,n_2]$ 分成 $N$ 个小区间，每个区间放一个随机相位的余弦：

幅值 $\sqrt{2G_d\Delta n}$ 对应 ISO 的单边 PSD：每一项的方差 $=\frac{1}{2}\cdot 2G_d(n_i)\Delta n=G_d(n_i)\Delta n$，加起来就等于 PSD 的积分。车速 $v$ 下 $x=vt$，时间频率 $f=nv$，时间 PSD $G(f)=G_d(n)/v$。固定随机种子 = 固定 ${\theta }_i$，保证每个控制器跑的是同一条路。

② 滤波白噪声法（国内文献常见）：${\dot{z}}_r(t)=-2\pi n_{00}v{z}_r(t)+bw(t)$，$n_{00}$ 为下截止空间频率（常取 0.011 cycles/m）。常见写法 $b=2\pi n_0\sqrt{G_q(n_0)v}$ 有一个 2 倍的坑：

若 $w$ 是标准白噪声（$⟨w(t)w(t+\tau )⟩=\delta (\tau )$，双边 PSD = 1），一阶滤波器输出的双边 PSD 为 $$S(f)=\frac{b^2}{(2\pi f{)}^2+(2\pi n_{00}v{)}^2}=\frac{G_q(n_0)n_0^2}{v(n^2+n_{00}^2)}\approx \frac{G_d(n)}{v}(f=nv,n\gg n_{00}),$$ 而 ISO 用的是单边 PSD $=2S(f)=2G_d(n)/v$——大了一倍（Claude 用 Welch 估计数值核对过，比值约 2.0）。要与 ISO 单边值一致，应取 $$\boxed{b=2\pi n_0\sqrt{G_q(n_0)v/2}}$$ 或者把 $G_q$ 理解为双边值。请检查所用工具对“单位白噪声”的约定（Simulink 的 Band-Limited White Noise 模块是经典陷阱），办法是把生成信号的 Welch PSD 与 $G_d(n)/v$ 比一比。另外三点：① 该滤波器没有 2.83 cycles/m 的上截止，总方差比限带的 ISO 路面大；② 初值 $z_r(0)$ 应从平稳分布中抽取，否则有起始暂态；③ 应把它称为 ISO 谱的平稳近似，而不是“ISO 路面”本身。

# 第2章：ISO 8608 C 级路面（谐波叠加法）生成与统计核对
import sys; sys.path.insert(0, '..')
import numpy as np
from qcar import iso8608_road
v = 20.0
t, zr = iso8608_road('C', v=v, T=60.0, dt=1e-3, seed=1)
Gd0, n0 = 256e-6, 0.1
n1, n2 = 0.011, 2.83
var_theory = Gd0*n0**2*(1/n1 - 1/n2)       # integral of Gd0 (n/n0)^-2 dn
print(f"theory RMS over n in [{n1},{n2}] cyc/m: {np.sqrt(var_theory)*1000:.2f} mm")
print(f"generated RMS (60 s @ {v} m/s): {zr.std()*1000:.2f} mm")
print(f"time-frequency band at v={v} m/s: {n1*v:.2f} - {n2*v:.1f} Hz")

theory RMS over n in [0.011,2.83] cyc/m: 15.23 mm
generated RMS (60 s @ 20.0 m/s): 15.11 mm
time-frequency band at v=20.0 m/s: 0.22 - 56.6 Hz

2.6　ISO 2631：人体舒适度的频率加权（思想）

人体对不同频率振动的敏感度不同，垂向大约在 4–8 Hz 最敏感。ISO 2631-1:1997（iso.org/standard/7612）规定先对座椅面加速度做频率加权（垂向用 $W_k$），再算加权 RMS $a_w=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{a}_w^2(t)dt}$。常被引用的舒适度参考：$a_w<0.315$ m/s² 无不适，0.315–0.63 有些不适，0.5–1 较不适，0.8–1.6 不适，1.25–2.5 很不适，>2 极不适（区间有重叠是标准原文如此）。

2.7　指标的精确定义（第 7 页）

deck 写的是“控制努力·力 RMS/能量”，能量的具体定义未给出；上面的机械功是一种常见选择，需团队确定。

2.8　自测题

1. 写出车轮方程，并说明 $-F_a$ 的符号来源。
2. $m_s$ 增加 30% 时，车身固有频率大约变为原来的多少倍？
3. 车速 10 m/s，空间频率 0.011–2.83 cycles/m 对应的时间频率范围？
4. C 级路面在 $n=0.2$ cycles/m 处的 $G_d$？
5. $a_{\mathrm{RMS}}$ 与 $a_w$ 的区别？

3　作动器模型：一阶滞后、饱和、速率限制、纯时延

3.1　直觉

3.2　模型（B 套 deck 第 5 页）

deck 的 B 套把时延写在别处（“纯时延 $T_d$ 独立建模”），A 套写成 $u_c(t-T_d)$；本质相同，只是顺序约定。环节顺序会影响结果（先限幅后滞后，$F_a$ 永远不超过 $F_{\max }$；反过来则不一定），团队需在模型里固定一种并写明。

3.3　数值算例：10 Hz 与 40 Hz 下作动器把信号变成什么样

3.4　为什么这些约束对抖振至关重要

1. 制造抖振：滞后/时延使 $s$ 对 $u_c$ 的相对阶升高，sgn 切换总是晚到 → 极限环（第 5 章 5.8）。Lee & Utkin 2007 正是从“未建模的作动器/传感器动态”出发分析抖振。
2. 隐藏抖振：作动器是低通，$F_a$ 看起来平滑，但 $u_c$ 端在剧烈换向（阀/驱动器在“受罪”）。所以 deck 坚持 $u_c$、$F_a$ 分别算 $J_{\mathrm{HF}}$ 和 TV。
3. 饱和：$K$ 很大时 $u_c$ 常顶到 $F_{\max }$，实际控制能力下降，到达条件可能失效；所以要统计“饱和时间占比”。若控制器有积分项（如 STA 的 $v$），饱和还会引起积分饱和（windup）。
4. 速率限制：直接限制了能跟踪的“方波”幅值和频率。

3.5　自测题

1. ${\tau }_a=20$ ms 时 20 Hz 信号的幅值比？
2. $T_d=10$ ms 在 20 Hz 的相位滞后？
3. $R_{\max }=10^5$ N/s 时 20 Hz 正弦最大不受限幅值？
4. 为什么只算 $F_a$ 的 TV 可能低估抖振？

4　反馈控制基础：PID 直觉、鲁棒性、匹配与非匹配不确定性

4.1　直觉：反馈 = 看着结果改动作

4.2　PID 三项的直觉

$u=-K_{p}e-K_i\int edt-K_d\dot{e}$。P：误差大就推得大（像弹簧）；I：消除长期偏差（记账）；D：看变化趋势提前刹车（像阻尼）。对车身，$u=-c_{\mathrm{sky}}{\dot{z}}_s$ 就是一个纯 D 控制——这就是 Skyhook。滑模面 $s=ce+\dot{e}$ 形式上很像 PD 组合，但滑模控制对 $s$ 施加的是强非线性的切换，而不是线性比例。

4.3　鲁棒性与不确定性

鲁棒性：模型和真实系统不一致时，控制器仍保持稳定和可接受的性能。不确定性来源：

• 参数不确定：$m_s$ 随载客/载货变化（deck 取 ±30%），$k_s,c_s$ 老化偏差；
• 外部扰动：路面 $z_r$；
• 未建模动态：作动器滞后与时延、结构柔性、传感器动态；
• 测量噪声与离散化。

4.4　匹配与非匹配

系统 $\dot{x}=Ax+B(u+d)$ 中，扰动 $d$ 与 $u$ 从同一个输入矩阵 $B$ 进入，称为匹配：控制量“够得着”它，可以在同一通道里直接抵消。若扰动通过另一个方向 $Ew$ 进入且 $E$ 不在 $B$ 的列空间内，称为非匹配。

1/4 车：$B=[0,1/m_s,0,-1/m_u{]}^{\mathsf{T}}$；路面 $E=[0,0,0,k_t/m_u{]}^{\mathsf{T}}$，不与 $B$ 共线 → 对全状态是非匹配的。但如果我们只关心滑模变量 $s$（只含车身状态），那么在 $\dot{s}$ 方程里：$m_s$ 摄动、$k_s/c_s$ 偏差与 $u$ 出现在同一个式子里，可以被 $K$ 覆盖（第 5 章）；路面只经由测得的 $F_s$ 影响车身。

4.5　数值算例与核对

核对（匹配性的秩判据）：把 1/4 车的 $B=[0,1/m_s,0,-1/m_u{]}^{\mathsf{T}}$ 与路面输入 $E=[0,0,0,k_t/m_u{]}^{\mathsf{T}}$ 拼成矩阵 $[BE]$，秩为 2（两列不共线）⇒ $E\notin \mathrm{span}(B)$，路面对全状态是非匹配的；而质量摄动在车身方程中表现为 $(1/m_s-1/{\hat{m}}_s)(F_s+u)$，方向与 $B$ 的车身分量相同，在 $\dot{s}$ 方程里与 $u$ 同位置。

4.6　自测题

1. Skyhook 对应 PID 的哪一项？
2. $\dot{x}=Ax+Bu+Ed$，$B=[0,1{]}^{\mathsf{T}}$，$E=[0,2{]}^{\mathsf{T}}$，$d$ 匹配吗？
3. 举一个本课题中的未建模动态。

5　滑模控制（SMC）从零讲起

5.1　直觉：先“设计一条好走的路”，再“把车推上去”

5.2　第一步：给 1/4 车定义误差 $e$（deck 没写，必须补上）

滑模面 $s=ce+\dot{e}$ 里的 $e$ 是“跟踪误差”，必须说清楚跟踪哪个量、参考值是多少。对主动悬架，文献中常见三种选法：

方案 B 的参考模型（与被动悬架结构相同，再加一个接在“天空”上的阻尼 $c_{\mathrm{sky}}$）：

注意（Claude 复核后修正）：参考模型里只能用设计值（标称 ${\hat{m}}_s,{\hat{k}}_s,{\hat{c}}_s$ 或自选的 $m_{\mathrm{ref}}$），不能用真实 $m_s$——真实质量是未知的，控制器里根本拿不到。

它由测得的车轮位移 $z_u$ 驱动，在控制器里实时积分。方案 A 就是 B 中令 $z_{\mathrm{ref}}\equiv 0$ 的特例，所以下面统一按“有参考”推导。

5.3　推导等效控制 $u_{\mathrm{eq}}$

设计时假设作动器理想：$F_a=u$（作动器动态留到第 3 章和 5.8 讨论——这正是抖振的来源之一）。这是整个推导里最大的一条假设（见下方提示框）。记悬架被动力 $F_s=k_s(z_u-z_s)+c_s({\dot{z}}_u-{\dot{z}}_s)$，车身方程为 $m_s{\ddot{z}}_s=F_s+u$。

第 1 步：对 $s$ 求导。

注意 $u$ 直接出现在 $\dot{s}$ 里，系数 $1/m_s\ne 0$——这叫 $s$ 对 $u$ 的相对阶为 1（底稿里“检查 $CB\ne 0$”说的就是这件事）。相对阶为 1 是一阶滑模能用的前提。

第 2 步：令标称模型下 $\dot{s}=0$，解出 $u$。用标称值 ${\hat{m}}_s$、${\hat{F}}_s$（用标称 ${\hat{k}}_s,{\hat{c}}_s$ 和测量值算出）：

方案 A（$z_{\mathrm{ref}}=0$）时简化为 $u_{\mathrm{eq}}=-{\hat{F}}_s-{\hat{m}}_{s}c{\dot{z}}_s$：先抵消弹簧阻尼力，再施加一个与车身速度成正比的“天棚”阻尼。

第 3 步：加切换项。

5.4　Lyapunov 证明：到达条件与 $K$ 的下界（完整步骤）

第 1 步：把模型误差集中成一个“总扰动”。真实系统里 $m_s$、$F_s$ 都可能和标称不同。把 $u$ 代入真实的 $m_s\dot{s}$：

假设已知上界 $|\Delta |\le D$（$D$ 的估算见 5.5 算例）。

第 2 步：取 Lyapunov 函数 $V=\frac{1}{2}{s}^2\ge 0$，它衡量“离滑模面多远”。求导：

第 3 步：选增益。若取

则 $s\dot{s}\le -\eta |s|$——这就是经典的 $\eta$-到达条件（Slotine & Li《Applied Nonlinear Control》第 7 章的写法）。

为什么是 $m_{s,\max }$：$K>D$ 时衰减率 $(K-D)/m_s$ 在质量最大时最小；要求对每个可能的质量都有 $(K-D)/m_s\ge \eta$，就得到 $K\ge D+\eta m_{s,\max }$。这是充分条件，真实质量较小时偏保守。另外质量出现了两次（这里作除数、$D$ 里还有 $|{\hat{m}}_s-m_s|$），把 ${\hat{m}}_s$ 取在 $[m_{s,\min },m_{s,\max }]$ 的中点能让 $D$ 的质量项最小。

可行性（饱和）约束：作动器最大力是 $F_{\max }$，所以还必须 $|u_{\mathrm{eq}}|+K\le F_{\max }$，否则控制量被削顶，到达条件就失效。这给 $K_{\max }$ 一个上限。

模糊整定时谁要满足下界：保证要在每一时刻成立，所以是下限 $K_{\min }$（或一个随状态变化的下界 $K_{\mathrm{lower}}(x,t)$）必须满足 $K\ge D+\eta m_{s,\max }$，而不是“模糊输出的平均值”。模糊器只能在这个下限之上“加性能”（详见 6.1 推导 5）。

第 4 步：有限时间到达。因为 $s\dot{s}=|s|\frac{d}{dt}|s|$（$s\ne 0$ 时），所以

注意这是有限时间，不是“渐近”（指数收敛永远到不了 0，而这里 $|s|$ 以至少 $\eta$ 的速率线性下降，一定在 $t_r$ 之前到达）。

用边界层 $\mathrm{sat}(s/\varphi )$ 时要改口：层外 $\mathrm{sat}=\mathrm{sgn}$，所以只能保证到达边界层而不是 $s=0$： $$t_r\le \frac{|s(0)|-\varphi }{\eta }.$$ 进入层内后 $m_s\dot{s}=\Delta -Ks/\varphi$，准静态地 $|s|\sim \varphi D/K<\varphi$——是最终有界（ultimately bounded），不收敛到 0。

第 5 步：滑动阶段。到达后 $s\equiv 0$，即 $\dot{e}=-ce$，所以 $e(t)=e(t_r)e^{-c(t-t_r)}\to 0$。$c$ 越大误差衰减越快，但等效带宽越高，越吃作动器带宽。

5.5　数值算例：$\pm 30\%$ 质量摄动需要多大的 $K$？

5.6　一个容易被追问的点：滑动时车轮怎么样？（内动态）

一个滑模面只“管住”了车身这一个自由度；车轮这另一个自由度的运动称为内动态（internal dynamics），它必须自己稳定。

• 一个更干净的看法：悬架和作动器作用在车轮上的合力是 $-(F_s+F_a)=-m_s{\ddot{z}}_s$，所以不论 $u_{\mathrm{eq}}$ 怎么实现，都有 $$m_u{\ddot{z}}_u=k_t(z_r-z_u)-m_s{\ddot{z}}_s.$$
• 方案 A（$e=z_s$）：$s\equiv 0$ 给出 $z_s=z_s(0)e^{-ct}$，强迫项衰减掉，车轮方程变成 $m_u{\ddot{z}}_u=k_t(z_r-z_u)$——完全没有阻尼，车轮在 $\sqrt{k_t/m_u}/2\pi =\sqrt{160000/45}/2\pi \approx 9.49$ Hz 持续振荡（轮胎动载变差）。用传递函数的话说：从力到 $z_s$ 的传递函数有一对零点 $\pm j\sqrt{k_t/m_u}$，内动态是临界稳定（marginally stable），不是渐近稳定；路面里 9.5 Hz 附近的成分会把它激到共振，实际中只有很小的轮胎阻尼和作动器饱和在限制它。
• 方案 B（跟踪天棚参考模型）：$z_s=z_{\mathrm{ref}}$ 时 $m_s{\ddot{z}}_s=m_s{\ddot{z}}_{\mathrm{ref}}$，其中含有 $c_s({\dot{z}}_u-{\dot{z}}_{\mathrm{ref}})$，车轮被阻尼，内动态指数稳定。但要看清楚：车轮跳动模态的阻尼只来自被动阻尼 $c_s$（$\zeta \approx 0.18$–0.19，和被动悬架差不多）；天棚项 $c_{\mathrm{sky}}$ 改善的是车身模态，不是车轮跳动。若车轮跳动阻尼重要，常见办法是加“地棚（ground-hook）”项或在设计中加入簧下质量项。

# 第5章：滑模面上的“内动态”（车轮）——方案 A(e=z_s) 与方案 B(跟踪天棚参考模型) 对比
import numpy as np
ms, mu, ks, cs, kt, csky = 250.0, 45.0, 16000.0, 1000.0, 160000.0, 2800.0
# 方案 A：s=0 且 e=z_s→0 后，车身不动，车轮方程变为 mu*zu'' = kt*(zr - zu) （没有任何阻尼！）
A_A = np.array([[0, 1], [-kt/mu, 0]])
print("Option A wheel eigenvalues:", np.round(np.linalg.eigvals(A_A), 2), " -> f =", round(np.sqrt(kt/mu)/2/np.pi, 2), "Hz, undamped")
# 方案 B：z_s→z_ref，参考模型 ms*zref'' = -ks(zref-zu) - cs(zref'-zu') - csky*zref'
#        车轮 mu*zu'' = kt(zr-zu) - ms*zref''   （作动器+弹簧+阻尼的合力 = ms*zref''）
A_B = np.array([
    [0, 1, 0, 0],
    [-ks/ms, -(cs+csky)/ms, ks/ms, cs/ms],
    [0, 0, 0, 1],
    [ks/mu, (cs+csky)/mu, -(ks+kt)/mu, -cs/mu]])
lam = np.linalg.eigvals(A_B)
print("Option B (ref model + wheel) eigenvalues:", np.round(np.sort_complex(lam), 2))
for l in lam:
    if l.imag > 0:
        print(f"  mode: f = {abs(l)/2/np.pi:.2f} Hz, zeta = {-l.real/abs(l):.3f}")
# 与 Claude 复核结果对照：若车轮不受天棚力的反作用（阻尼器真的挂在“天上”），车轮行第 2 列只剩 cs/mu
A_C = A_B.copy(); A_C[3, 1] = cs/mu
print("Ideal sky-anchored damper (no reaction on wheel):")
for l in np.linalg.eigvals(A_C):
    if l.imag > 0:
        print(f"  mode: f = {abs(l)/2/np.pi:.2f} Hz, zeta = {-l.real/abs(l):.3f}")

Option A wheel eigenvalues: [0.+59.63j 0.-59.63j]  -> f = 9.49 Hz, undamped
Option B (ref model + wheel) eigenvalues: [-11.36-58.72j -11.36+58.72j  -7.35 -3.09j  -7.35 +3.09j]
  mode: f = 9.52 Hz, zeta = 0.190
  mode: f = 1.27 Hz, zeta = 0.922
Ideal sky-anchored damper (no reaction on wheel):
  mode: f = 9.85 Hz, zeta = 0.183
  mode: f = 1.23 Hz, zeta = 0.960

输出显示：方案 A 车轮特征值是纯虚数（无阻尼 9.49 Hz）；方案 B 两个模态分别是 9.52 Hz（阻尼比 0.19）和 1.27 Hz（阻尼比 0.92），都稳定。

这就是推荐方案 B 的理由——但请把它当作“我们的设计理由”来讲，而不是“文献结论”。“精确调节 $z_s$ 会留下无阻尼的车轮零动态”是标准事实（零动态理论，见 Slotine & Li 第 6 章、Isidori）；“所以用天棚参考模型滑模面让内动态有阻尼”是合理的设计推论，但 Claude 和我都没能找到一篇用这句话直接论证的文献，不要说成“文献表明”。代价是：得到的舒适度是“带 $c_{\mathrm{sky}}$ 的天棚”水平，而不是完美隔振。

5.7　对“匹配扰动”的不变性：说准确

匹配（matched）扰动指与控制量从同一个通道进入系统的扰动。在本设计里：$m_s$ 摄动、$k_s/c_s$ 偏差都出现在车身方程里，与 $u$ 同一位置，所以对 $s$ 动态是匹配的（Drazenović 1969 的匹配条件），只要 $K\ge D+\eta m_{s,\max }$ 就被完全压住；滑动阶段 $\dot{e}=-ce$ 与它们无关——这叫“不变性”（Utkin 1977 的经典结论）。

要说准确的三个前提：① 只在理想滑动（$s\equiv 0$，无限快切换）时严格成立；用了边界层就只剩“有界误差”；② 扰动上界 $D$ 必须真实覆盖；③ 作动器带来的滞后/时延不是匹配扰动，而是未建模动态，它会破坏理想滑动、产生抖振（5.8）。④ 路面在完整模型里不是匹配扰动：$z_r$ 从轮胎进入车轮方程，不在 $u$ 的通道里；它只能经由 $z_u,{\dot{z}}_u$（进而经由 $F_s$ 和 ${\ddot{z}}_{\mathrm{ref}}$）间接影响 $s$。所以“匹配”只对车身的 $s$ 动态成立，不能说“滑模对路面扰动不变”。

5.8　抖振：四个原因 + 两种危害